又是一年研究生开学季。和同事闲聊，都说现在女生会考试，普遍比男生成绩高。
有“较真”者，偏要用数字来证明：据说我们学院两个学科“生物医学工程”和“食品科学与工程”共招收了445人，算一算男生和女生哪个考分高(比如总分超过300分的人数)。
计算这个比例得知，男生是202/246=82%，女生是162/199=81%。
看吧，还是男生学习好一点点，还是“阳盛阴衰”啊。
不过更“较真”者，说本科里都是女生“学霸”多，敢报学硕的也多，看看学硕和专硕各自的比例吧：
对于两个专业的学硕，男生是65/88=74%，女生是71/94=76%
对于两个专业的专硕，男生是137/158=87%，女生是91/105=87%
咦，这么看，好像是女生成绩更好些(起码不比男生差)。
也就是说，分学硕和专硕时，女生成绩高、男生成绩低;学硕和专硕加起来，却是男生成绩高、女生成绩低。
问题出在哪呢?
估计懂行的人都看出来了，这是著名的“辛普森悖论”现实版之一，由英国统计学家辛普森于1951年提出的悖论，即在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论。
我们用数学上的条件概率来转换上面的结果：
|
性别X |
学硕和专硕Y |
成绩300分Z |
|
|
0 |
女 |
只看专硕 |
低于 |
|
1 |
男 |
只看学硕 |
高于 |
那么，不区分的总体来看：
男生成绩 P(Z=1〡X=1) = 0.82 记为式A
女生成绩 P(Z=1〡X=0) = 0.81 记为式B
只看学硕：
男生成绩 P(Z=1〡X=1, Y=1) = 0.74 记为式①
女生成绩 P(Z=1〡X=0, Y=1) = 0.76 记为式②
只看专硕：
男生成绩 P(Z=1〡X=1, Y=0) = 0.87 记为式③
女生成绩 P(Z=1〡X=0, Y=0) = 0.87 记为式④
为了简化表达，我们把X, Y, Z = 0的情况分别记为X’, Y’和X’，而X, Y, Z = 1的保持不变。
那么以上6个值依次改写为：
P(Z〡X) = 0.82 式A
P(Z〡X’) = 0.81 式B
P(Z〡X, Y) = 0.74 式①
P(Z〡X’, Y) = 0.76 式②
P(Z〡X, Y’) = 0.87 式③
P(Z〡X’, Y’) = 0.87 式④
根据概率知识，其中男生总体可分解如下：
P(Z〡X) = P(Z〡X, Y) · P(Y〡X) + P(Z〡X, Y’) · P(Y’〡X)
即：
A = ① · P(Y〡X) + ③ · P(Y’〡X)
此式中P(Y〡X)和P(Y’〡X)没有在上面出现过，分别表示男生里学硕的概率和专硕的概率，当然可知P(Y〡X) + P(Y’〡X) = 1。
为了再简化，令Q = P(Y〡X)，上式变为：
A = ① · Q + ③ · (1 – Q)
类似的女生情况：
B = ② · P(Y〡X’) + ④ · P(Y’〡X’)
此式里，P(Y〡X’)和P(Y’〡X’) 分别表示女生里学硕的概率和专硕的概率，同样P(Y〡X’) + P(Y’〡X’) = 1，也令Q’ = P(Y〡X’)，上式变为：
B = ② · Q’ + ④ · (1 – Q’)
画成坐标系的结果如下：
我们可以这样认为：男生成绩A在实线①→③上移动，而女生成绩B在点画线②→④上移动。
而且，如正好在“*”处，那么总体上成绩男生A<女生B，与分类时一致;相反地，A > B，与分类时不一致。
很显然，“*”在何处取决于Q和Q’的取值。Q影响男生A，Q’影响女生B。
比如真的是女生学硕多，那么Q’大，B线上的“*”就接近④，如果这时正好是男生学硕少，Q小，A线上的“*”更接近①，正好低于B线上的(如上图显示)，那么就是总体上男生就低于女生的，与分类时一致;反之，就不时一致。
换一种不太抽象的解释，原点O分别和A、B的连线分别组成O-①-③和O-②-④两个三角形向量，示意图如下：
我们还可以换一种角度，根据下图，本来我们要考察性别X对成绩Z的影响，但现在增加了学硕/专硕Y的影响：
例如上图这样的影响模式，看总体X→Z比加上了“干扰项Y”变成X→Y→Z更合适些。
看来，统计真的会说谎，这个辛普森悖论还有更多的演化版。从当前的实例看，男女生的成绩是差别不大的，基本上是“阴阳和谐”呗，要想成功上岸，还是要靠多努力、多积累。
有言道：If you don’t trust people, you can trust data.
我加一句：If you don’t trust data, you can trust yourself.
作者：董庆利